Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1493
BLOG

Niewidzialne koła

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 11

 

W mechanice kwantowej przyjmuje się, że faza funkcji falowej jest nieobserwowalna. Obserwowalna jest tylko amplituda – ściślej: kwadrat jej modułu. Mój kolega, Eine, dawał to zrozumienia w swoich notkach, że, jego zdaniem, tylko to i nic innego jest obserwowalne. Jest to jeden z możliwych poglądów. Są wszak i inne. Jak świat długi i szeroki, poglądy zmieniają się jako funkcja miejsca i czasu. Nie ma dwóch fizyków o dokładnie takich samych poglądach na mechanikę kwantową, no chyba, że ktoś żadnego poglądu w ogóle na ten temat nie ma i po prostu rachuje według wzorów i przepisów kulinarnych podanych w książkach kucharskich. Jednak i książka kucharska książce kucharskiej nie równa.

 

Prawdę mówiąc o „funkcji falowej” mówimy wtedy, gdy w grę wchodzi położenie obiektu, obiektu, który może znajdować w różnych miejscach w przestrzeni, przemieszczać się w niej. A ja, na razie, zajmuję się obiektem stojącym w miejscu – spinem. Jedynie kierunek osi spinu może się tu zmieniać. Taki obiekt opisywany jest przez „wektor stanu”. W naszym przypadku, dla spinu ½ , wektor stanu to po prostu czwórka liczb rzeczywistych (X,Y,Z,W), których kwadraty dodają się do jedności. Albo też, dla lubiących liczby zespolone, to słupek dwóch liczb zespolonych (z1,z2), których kwadraty modułów dodają się do jedności. Związek pomiędzy dwoma formalizmami, rzeczywistym i zespolonym jest prosty:

 

z1= X+iY

z2= Z+iW,

 

X = Re(z1)

Y = Im(z1)

Z = Re(z2)

W = Im(z2)

 

Zamiast liczb (X,Y,Z,W) wygodnie czasem użyć katów theta,phi,psi określających położenie wektora na trójwymiarowej sferze w czterowymiarowej przestrzeni:

 

X = sin(phi/2)cos(psi)

Y = sin(phi/2)sin(psi)

Z = cos(phi/2) cos(psi+theta)

W = cos(phi/2) sin(psi+theta)

 

Z czterowymiarowej przestrzeni możemy przejść do przestrzeni trójwymiarowej przez rzut stereograficzny – pisałem o tym dwie notki wstecz. W rezultacie otrzymujemy współrzędne x,y,z w „naszej” trójwymiarowej przestrzeni:

 

x(theta,phi,psi) = sin(phi/2)cos(psi) /(1-cos(phi/2) sin(psi+theta))

y(theta,phi,psi) = sin(phi/2)sin(psi) /(1-cos(phi/2) sin(psi+theta))

z(theta,phi,psi) = cos(phi/2)cos(psi+theta) //(1-cos(phi/2) sin(psi+theta))

 

Jaki jest teraz sens fizyczny kątów theta, phi, psi? W naszym laboratorium, kiedy oś z skierowana jest ku górze, na globusie będzie to Północ, kąt phi to kąt pomiędzy spinem a pionem – taka szerokość geograficzna. Kąt theta to kierunek to długość geograficzna, przy czym oś x ma długość geograficzną 0, oś y – długość geograficzną Pi/2 czyli 90 stopni.

A kąt psi? Otóż kąt psi to ta „niewidzialna faza”. Niby niewidzialna a jednak taki Feynman nie mógł się bez niej obyć, gdy w swoim kursie fizyki pisał o spinie. Przyjrzymy się dziś tej fazie a przy okazji, dla zainteresowanych, powiem jak ją samemu można namalować. Do malowania użyję powszechnie dostępnego programu Povray, który można ściągnąć z povray.org.

Jest to cudowny program, o niesłychanych możliwościach, ma jednak jedną wadę gdy idzie o użytek w nauce – nie potrafi malować przestrzennych krzywych. Może malować powierzchnie, ale z krzywymi ciężko. Szukałem jakichś dodatków do programu, dodatków ułatwiających malowanie krzywych, ale nie znalazłem. Musimy więc posłużyć się trickami. Moim celem jest namalowanie tych niewidzialnych aspektów wektora stanu. Niewidzialne psi zmienia się od 0 do 2 Pi. Gdy będziemy zmieniać psi, pojawi się więc krzywa zamknięta. N trójwymiarowej sferze w czterowymiarowej przestrzeni będzie to „wielkie koło”. Każdy pewnie wie co to są wielkie koła na globusie? Południki są wielkimi kołami, równoleżnik jest wielkim kołem. Wielkie koła powstają w wyniku przecięcia sfery płaszczyzną przechodzącą przez środek tej sfery. Podobnie jest na sferze trójwymiarowej w czterowymiarowej przestrzeni. Niewidzialne koła to wielkie koła, choć nie wszystkie wielkie koła są niewidzialne. O tym innym razem. Z trójwymiarowej sfery rzutujemy takie wielkie koło w naszą trójwymiarową przestrzeń. Rzut stereograficzny ma tę własność, że zachowuje kąty i przeprowadza koła w koła. Zatem obrazy w naszej przestrzeni wielkich kół z przestrzeni czterowymiarowej będą też kołami. Stąd i tytuł notki. Będziemy malować niewidzialne koła.

Najprościej by było użyć jakiegoś programu graficznego mogącego rysować zarówno przestrzenne krzywe jak i powierzchnie. Ale nie takie programy sporo kosztują. Dlatego użyjemy programu Povray i skorzystamy z tego, że Povray potrafi malować torusy. Torus to taki obwarzanek. Krótki programik:

 

camera{

location <0,0,14>

look_at <0,0,0>

}

light_source{<10,0,12>,1}


object{torus{1.0,0.25 pigment{rgb <1,1,1>}} rotate <90,0,0> }

 

maluje taki właśnie obwarzanek:

 

Povray obwarzanek

 

Obwarzanek malowany jest w płaszczyźnie (x,z). Obracam go do płaszczyzny (x,y) komendą „rotate”.

Obwarzanek ma tu promień 1 a szerokość 0.25. Wybrałem kolor (pigment) biały. Kamerę umieściłem

na osi z, na wysokości 14 (można podejść bliżej), kazałem jej patrzeć w środek. Dodałem też źródło światła. Ot i cały program. Zmniejszając grubość obwarzanka do, powiedzmy, 1/32. otrzymuję niezłe koło - obrączkę:

 

Povray obrączka

 

I z tego właśnie skorzystamy malując nasze niewidzialne koła. Zamiast malować koła z naszych formuł, będę malował koła w płaszczyźnie (x,z), co Povray umie, a następnie obracał je i przesuwał jak potrzeba. Żeby znaleźć odpowiednie formuły na promienie kół, obroty, przesunięcia, musiałem się trochę geometrycznie napocić. Ale geometrie lubię, więc nie narzekam. O tym zresztą będzie jeszcze wzmianka na końcu tej notki.

Ustalimy szerokość geograficzną na Pi/2 – spin wskazuje na równik, jest pod kątem 90 stopni do pionu. Narysujemy niewidzialne koła co 10 stopni długości geograficznej, będzie tych kół zatem 36. A oto mój program który to robi:

#include "colors.inc"
camera{
location <0,0,14>
look_at <0,0,0>
}
light_source{<10,0,12>,1}

#macro myCircle(theta,phi,c)
#local st=sin(theta);
#local ct=cos(theta);
#local sp=sin(phi/2);
#local cp=cos(phi/2);
#local x0=cos(phi/2)*sin(theta)/sin(phi/2);
#local y0=cos(phi/2)*cos(theta)/sin(phi/2);
torus
{
1/sp,1/32 pigment{rgb c}
rotate <90,0,0>
transform
{

matrix
<-ct*sp, st*sp,-cp,
st,ct,0,
cp*ct,-cp*st,-sp,
0,0,0>
translate <x0,y0,0>
}
}

#end

#local theta=0;
#while(theta<2*pi)
myCircle(theta,1*pi/4,White)
#local theta=theta+pi/18;
#end

 

oraz wynik – gdy patrzymy z góry.

Villarceau circles

 

Mamy wielki torus utkany z kółek. Te koła, niewidzialne koła, to „Villarceau circles” - jak w katedrze w Strasbourgu. Każde z tych kół jest „widziane” jako po prostu punkt: spin skierowany w kierunku (theta,phi). Faza psi, czyli to, gdzie jesteśmy na danym kole, jest niewidzialna dla nas.

Oczywiście można te koła namalować piękniej Popatrzcie tutaj, jak je pięknie namalował Paul Nylander! Ale też popatrzcie na jego kod i porównajcie z moim kodem. Nylander za każdym razem numerycznie rachował promień koła, przesunięcie i parametry macierzy obrotu. A ja je wszystkie wyliczyłem analitycznie! Stąd i mój kod jest króciutki.

W następnej notce skombinujemy torusy – powłoki z niewidzialnymi kołami. Zajmiemy się też dokładniej interpretacją fizyczną naszych obrazków.

A kto ciekaw grafiki i video, może zajrzeć tutaj: http://www.dimensions-math.org/ - nas interesuje grafika czterowymiarowa i hasło „Hopf fibration”- bo o rozwłóknieniu Hopfa piszę, choć jeszcze tego zwrotu nie wprowadziłem.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie