Odniesiemy dziś fragment graficznego przedstawienia przestrzeni wektorów stanu spinu do mechaniki kwantowej. Zabawimy się też w samodzielne malowanie spinowych torusów. Chętnie posłużyłbym się skryptem Kryszewskiego, ale nie mogę tego zrobić wprost, bo nieco inne ma oznaczenia niż ja, no i perspektywę nieco inną na to, co jest bardziej a co mniej ważne. Dlatego będę musiał to i owo zmienić, to i owo dodać. Tak np. gdy ja pisałem o współrzędnych sferycznych, przez phi oznaczałem szerokość geograficzną (mierzoną od bieguna północnego), przez theta długość geograficzną. A Kryszewski (formuła (17.38)) robi na odwrót. Jego phi to moje theta a jego theta to moje phi. Trzeba więc uważać przy porównywaniu formuł! Niby nieistotne, a jednak przy braku uwagi może prowadzić do nieporozumień.
Co więcej, ja, chcąc być przyjazny dla programistów, staram się trzymać liczb rzeczywistych, sinusów i cosinusów. Kryszewski, wzorem innych autorów, używa liczb zespolonych oraz funkcji exp(i phi). Niby jedno na drugie łatwo przetłumaczyć, ale takie tłumaczenie wymaga zaprzyjaźnienia się z formalizmem, co może zacierać istotę sprawy. Dlatego po prostu napiszę co jest co, a dlaczego tak jest, to pozostawię jako zadanie domowe dla chętnych.
Dla nas wektor stanu to czwórka liczb rzeczywistych X,Y,Z,W, których kwadraty dodają się do jedności. Dla Kryszewskiego to słupek dwóch liczb zespolonych a+,a_. Związek między jednym a drugim jest prosty:
a+= X+iY
a_= Z+iW
Dalej Kryszewski ma wektor stanu |+ ) (będę używał „)” zamiast ostrego dzióbka, bo nie wiem czy Salon dzióbki zniesie, a nie chce mi się używać kodu HTML . To słupek z jedynką na górze i zerem na dole. Dla nas to X=1,Y=Z=W=0.
W mechanice kwantowej (i u Kryszewskiego) ten wektor stanu odpowiada sytuacji gdy spin ustawiony jest w kierunku osi z.
Jeśli |u) jest dowolnym wektorem stanu, wtedy, według mechaniki kwantowej, kwadrat iloczynu skalarnego |(+|u)|2 = jest prawdopodobieństwem tego, że mierząc przyrządem pomiarowym kierunek z-tową składową spinu otrzymamy wynik „stała Plancka dzielona przez dwa”. Jeśli u jest naszym wektorem (X,Y,Z,W), jeśli zapiszemy u jako słupek (X+iY,Z+iW), wtedy iloczyn skalarny słupka (1,0)
ze słupkiem (X+iY, Z+iW) to po prostu X+iY. Kwadrat modułu tej liczby to X2+Y2 . Przypomnę z poprzedniej notki, że używam katów phi, theta, psi, tak, że:
X = sin(phi/2)cos(psi)
Y = sin(phi/2)sin(psi)
Z = cos(phi/2) cos(psi+theta)
W = cos(phi/2) sin(psi+theta)
Stąd X2+Y2 = cos(phi/2)2.
Zatem, prawdopodobieństwo tego, że mierząc z-tową składową spinu znajdziemy ustawioną ją ku górze ( z wartością h/2) wynosi cos(phi/2)2. Mamy więc interpretację fizyczną naszego kąta phi. W mechanice kwantowej używamy też innego zwrotu. Mówimy mianowicie że „prawdopodobieństwo przejścia” ze stanu |u) do stanu |+) wynosi cos(phi/2)2. Przyjęło się też pisać cos2(phi/2) zamiast cos(phi/2)2 – kwadrat cosinusa kąta. Tak wygodniej, mniej możliwych nieporozumień.
Przypuśćmy, że chcemy teraz przedstawić wizualnie, w trójwymiarowej przestrzeni, zbiór tych wszystkich wektorów stanu dla których prawdopodobieństwo przejścia do stanu |+) - „strzałka ku górze”, wynosi ½. W tym celu należy wziąć phi = Pi/2. Wtedy cos(phi/2) = cos(Pi/4) = 1/sqrt(2), stąd cos(phi/2)2= ½.
Weźmiemy więc phi = Pi/2. Przypomnijmy nasze formuły na rzut stereograficzny
x = X/(1-W)
y = Y/(1-W)
z = Z/(1-W)
Podstawiając to formuły na X,Y,Z,W wyrażone przez kąty dostajemy, przy ustalonym phi,
x(theta,psi) = sin(phi/2)cos(psi) /(1-cos(phi/2) sin(psi+theta))
y(theta,psi) = sin(phi/2)sin(psi) /(1-cos(phi/2) sin(psi+theta))
z(theta,psi) = cos(phi/2)cos(psi+theta) //(1-cos(phi/2) sin(psi+theta))
Będzie to pewna powierzchnia. A jaka? Kto jeszcze nie załadował, może ściągnąć z sieci „3D-XplorMath” - program graficzny napisany w Javie. Uruchamiamy program i idziemy do „Parametric Surfaces/Torus”. Wybieramy u dołu „User Surface” i wpisujemy po kolei pisząc u zamiast naszego psi i v zamiast naszego theta – tak bowiem autor programu oznaczył sobie zmienne. Nasze stałe phi to będzie stały parametr „a” w programie.
x(u,v) = sin(a/2)*cos(u)/(1-cos(a/2)*sin(u+v))
y(u,v) = sin(a/2)*sin(u)/(1-cos(a/2)*sin(u+v))
z(u,v) = cos(a/2)*cos(u+v)/(1-cos(a/2)*sin(u+v))
Dalej mamy okienko „Parameter name”, wpisujemy
a = 0.5 pi
i tak dalej. W okienkach dla animacji nie wiedziałem co wpisać, jakoś animacje mi nie wychodziły. Próbowałem zrobić animację zmiany parametru a, ale nic nie wychodziło. Tak czy siak moje okienko wyglądało tak:
Parametry b,c są nieistotne. Można je usunąć, można też się pobawić nie domykając u i v do 2 Pi lub przy próbwach animacji. Ciekaw jestem, czy komus się animacja uda.
A wynik, gdy wybrałem „View From” jak na obrazku, wygląda tak:
Widać, że jesteśmy we wnętrzu torusa. Oczywiście możemy się oddalić i zobaczyć cały torus z zewnątrz.
Ten torus to właśnie te wszystkie wektory stanu spinu, które z prawdopodobieństwem ½ przechodzą w stan „strzałka spinu do góry”. Można wybrać inną wartość kąta phi (parametr a), byle między 0 a Pi, zatem inną wartość prawdopodobieństwa. Nie wiem czy ten program dopuszcza rysowanie powierzchni wewnątrz powierzchni – tak jak to pokazałem w mojej poprzedniej notce, gdzie były trzy powierzchnie na raz, dla trzech różnych wartości kąta phi.
O okręgach Villarceau będzie w następnej notce.
Tymczasem ciekaw jestem Waszych obrazków.
Komentarze