Zaczniemy się dziś uczyć nawigować w przestrzeni, której punktami są wektory stanu elektronu. Pamiętajmy przy tym o tym, że taki wektor stanu nosi w sobie zarówno informację „obserwowalną w naszej przestrzeni”, jak i informację dla nas nieobserwowalną – przynajmniej dzisiaj. Kto wie, co na temat powie fizyka jutra? Kto wie, co na ten temat powie fizyka pojutrza, która, być może, zawrze w sobie także, w formułach matematycznych, elementy „świadomości”?
Wektor stanu przedstawialiśmy na początku jako parę punktów na dwuwymiarowej sferze, doszliśmy w końcu do przedstawienia go przez cztery liczby X,Y,Z,W, których kwadraty dodają się do jedynki:
X2 +Y2 +Z2 +W2 = 1
Możemy te liczby zapisać przy pomocy współrzędnych kątowych: phi,theta,psi:
X = sin(phi/2)cos(psi)
Y = sin(phi/2)sin(psi)
Z = cos(phi/2) cos(psi+theta)
W = cos(phi/2) sin(psi+theta)
To ostatnie przedstawienie będzie jak znalazł dla programisty! Z trzech kątów tylko dwa przechodzą do „naszej przestrzeni: theta i phi. Kąt psi jest nieobserwowalny.
Zakres zmienności katów to:
phi od 0 do Pi. (szerokość geograficzna)
theta, psi od 0 do 2 Pi.
Przypomnę, że w mechanice kwantowej wektor spinu przedstawiamy zwykle jako słupek dwóch liczb zespolonych
X + iY
Z + iW
Tak wygodniej do kwantowo-mechanicznych obliczeń. Warto umieć tłumaczyć z jednego zapisu na drugi. Dzisiaj naszym celem będzie jednak po prostu nauka nawigacji w przestrzeni tych X,Y,Z,W, zapoznanie się z krajobrazem i odnoszenie tego co w tej przestrzeni znajdziemy do tego, co możemy zobaczyć w naszej przestrzeni. Posłużymy się w tym celu rzutem stereograficznym.
Najpierw przypomnienie.
Gdy mamy tylko X,Y spełniające równanie X2 +Y2 = 1, to punkty na płaszczyźnie o współrzędnych (X,Y) leżą na jednowymiarowym okręgu o promieniu 1.
Gdy mamy tylko X,Y,Z spełniające równanie X2 +Y2 +Z2 = 1 , to punkty w trójwymiarowej przestrzeni o współrzędnych (X,Y,Z) leżą na dwuwymiarowej sferze o promieniu 1.
Gdy mamy X,Y,Z,W spełniające równanie X2 +Y2 +Z2 +W2 = 1, to punkty o współrzędnych (X,Y,Z,W) leżą na ..... matematyk powie: leżą na trójwymiarowej sferze o promieniu 1, przy czym sama sfera jest w przestrzeni czterowymiarowej.
Matematyk pomoże nam także przedstawić tą sferę w trójwymiarowej przestrzeni przy pomocy rzutu stereograficznego. Przypomnę, że rzut stereograficzny używany w geografii przedstawia sferę na dwuwymiarową na płaszczyźnie. Zasada jest prosta:
Na tej samej samej zasadzie możemy trójwymiarową sferę zanurzoną w czterowymiarowej przestrzeni zrzutować na przestrzeń trójwymiarową, wystarczy zmienić odpowiednio formuły. Polska Wikipedia formuł w haśle „rzut stereograficzny” formuł nie podaje, al Wikipedia angielska pod hasłem „stereographic projections” formuły daje. Oto przepis dla kartografów:
Jeśli X,Y,Z to współrzędne punktu na sferze, wtedy współrzędne x,y rzutu tego punktu na płaszczyznę to
x = X/(1-Z)
y = Y/(1-Z)
Uwaga: w Wikipedii angielskiej małe i duże litery są używane na odwrót w stosunku do moich oznaczeń.
My dostosujemy ta formułę do naszych potrzeb. Punkt (X,Y,Z,W) będziemy przedstawiać w trójwymiarowej przestrzeni przez punkt x,y,z,w o współrzędnych
x = X/(1-W)
y = Y/(1-W)
z = Z/(1-W)
Co zyskujemy a co tracimy przez taki rzut? Cóż, tracimy z widoku jeden punkt: ten z którego rzutujemy – ten ucieka do nieskończoności. Wystarczy popatrzeć na obrazek powyżej, by zdać sobie sprawę z tego, że sam biegun północny na płaskiej mapie się nie znajdzie. A co zyskujemy? Po pierwsze możemy obrazek narysować. Po drugie, każdy kartograf wie, że choć rzut stereograficzny zniekształca wzajemne odległości, to jednak zachowuje kąty. W szczególności linie przecinające się pod katem prostym na sferze przecinają się także pod kątem prostym po zrzutowaniu.
W naszym rzutowaniu wektorów stanu spinu na trójwymiarową przestrzeń stracimy jeden wektor stanu, ten dla którego W=1. Gdy W=1, to z konieczności (ponieważ X2 +Y2 +Z2 +W2 = 1) X,Y,Z są zerami. Ten jeden jedyny wektor stanu nam umknie z obrazka. Ucieknie do nieskończoności. Przeżyjemy to.
Teraz możemy przystąpić do malowania struktury przestrzeni wektorów stanów spinu. Tylko czy warto? Otóż warto, zarówno ze względów edukacyjnych jak i estetycznych. Namalować możemy bowiem, bez wielkiego trudu taki oto obrazek:
Jak to się robi (przepis dla programisty) i jak interpretuje w terminach używanych przez fizyków – o tym w następnej notce. Nota bene: Te ukośne okręgi na torusach mają w matematyce swoją nazwę: to tzw „Villarceau circles”. Takie okręgi występowały właśnie na ornamentach klatki schodowej katedry w Strasbourgu – o której pisałem niedawno.
P.S. Obrazki, a nawet filmiki, o wiele piękniejsze od tych nieudolnych moich, znajdziecie w witrynie"Dimensions", choć bez wiązania matematyki z fizyką spinu.
