W moich notkach o spinorze zacząłem od zminimalizowania nieco jego tajemniczości. Ot, taka sobie para punktów w „wewnętrznej przestrzeni”. Ta para punktów jest jednak tajemnicza, ale do tego dopiero dojdziemy. Najpierw warto przyjrzeć się tej parze bliżej. Rysowałem te punkty w poprzedniej notce
, dziś narysujemy je dokładniej, ponazywamy kąty, wypiszmy formułki. Patrząc z góry nasza para punktów wygląda tak:
Rys 1.
A patrząc z boku – tak:
Rys 2.
(można kliknąć na obrazek, by go powiększyć, choć nic to specjalnie ciekawego, tylko lepiej widać, czego dotyczą kąty)
Na Rys. 1 przez psi oznaczyłem kąt pomiędzy punktem czerwonym, tym od bieguna południowego, a osią X wewnętrznej przestrzeni. Przez theta oznaczyłem kąt pomiędzy punktem czerwonym a niebieskim. To właśnie kat theta przechodzi do przestrzeni zewnętrznej – jest obserwowany jako długość geograficzna stanu spinu. (patrz poprzednia notka).
Na Rys 2 przez phi oznaczyłem szerokość geograficzną, wspólną dla obu punktów, mierzoną od bieguna północnego. Tym się różni matematyczny układ współrzędnych od geograficznego. W geografii mierzymy szerokość geograficzną na północ i południe od równika, w matematyce tylko na południe, od bieguna północnego. Tak wygodniej.
Zauważmy, że z trygonometrii wynika (twierdzenie o kącie środkowym), że punkt a tworzy z osią pionową kąt phi/2. Jako, że moja sfera ma promień ½ (tak wybrałem), jej średnica wynosi 1, i z twierdzenia Pitagorasa i czegoś tam jeszcze mamy, że a2 + b2 =1. Kat phi również „przechodzi” do przestrzeni zewnętrznej. To szerokość geograficzna stanu spinu.
Na górze i na dole domalowałem dwa okręgi i dwa wektory. Wektor u dołu ma fazę psi i długość a, wektor u góry ma fazę psi+theta i długość b. Nakładając te dwie płaszczyzny na siebie otrzymujemy coś takiego:
Rys 3.
Mamy więc dwa okręgi, jeden o promieniu a, jeden o promieniu b, i na każdym z okręgów jeden punkt. Przy tym a2 + b2 =1. Ot, i cały wektor stanu spinu, czyli spinor!
Zmieniając promienie tych okręgów, byle cały czas było a2 + b2 =1, zmieniając punkty na tych okręgach, przebiegamy przez wszystkie wektory stanu.
Teraz opiszmy to z użyciem naszych katów, we współrzędnych. Współrzędne wektora a na płaszczyźnie oznaczmy przez X,Y. Współrzędne wektora b przez Z,W:
a = (X,Y)
b = (Z,W)
Przez a, b oznaczmy ich długości.
Ale uwaga: teraz jesteśmy na tych dwóch płaszczyznach, tej u góry sfery i tej u dołu sfery, nałożonych jedna na drugą.
Z Rys 3 widać, że
X = a cos(psi)
Y = a sin(psi)
Z = b cos(psi+theta)
W = b sin(psi+theta)
Natomiast z Rys 2 widać, że
a = cos(phi/2)
b = sin(phi/2)
Czyli zbierając razem:
X = cos(phi/2)cos(psi)
Y = cos(phi/2)sin(psi)
Z = sin(phi/2) cos(psi+theta)
W = sin(phi/2) sin(psi+theta)
Automatycznie otrzymujemy stąd, że X2 +Y2 +Z2 +W2 = 1. Ot i cały spinor: czwórka liczb o tej własności, że suma ich kwadratów wynosi 1! Pierwsza para, (X,Y) – to wektor a, druga para, (Z,W), to wektor b.
Matematyk natychmiast zauważy, że X2 +Y2 +Z2 +W2 = 1 to równanie trójwymiarowej sfery w czterowymiarowej przestrzeni! Kto się boi czterech wymiarów?! Kto się ich boi, może sobie zawsze myśleć o parze płaskich wektorów a i b, byle kwadraty ich długości dodawały się do jedynki!
Matematyk jednak będzie górą, bo gdy mowa sferze, bez względu na to w ilu wymiarach jesteśmy, możemy tą sferę zrzutować przy pomocy rzutu stereograficznego i tym sposobem pozbyć się jednego wymiaru. Innymi słowy wektor stanu możemy w ten sposób przedstawić jako punkt w przestrzeni trójwymiarowej. Zajmiemy się tym graficznie w następnej notce.
Z drugiej strony możemy z X,Y,Z,W utworzyć dwie liczby zespolone:
a + = X+ iY
a - = Z + iW
i w ten sposób przejść wprost do opisu algebraicznego używanego w mechanice kwantowej spinu, tak jak w tym fragmencie wziętym ze skryptu Kryszewskiego:
