Zajmiemy się dziś bliżej matematycznym opisem spinu tak, by zbliżyć się nieco do tego jak spin opisywany jest w podręcznikach mechaniki kwantowej, na przykład w kursie Kryszewskiego dostępnym swobodnie w sieci. Zazwyczaj do spinu podchodzimy od strony algebry. Można i tak. Ja jednak podejdę od strony geometrii tak, by móc posłużyć się obrazkami. Jednym to pomoże, innym może przeszkadzać. Tak to już jest. Dlaczego może przeszkadzać? Algebra jest dużo łatwiejsza w rachunkach niż geometria – nie trzeba myśleć. Wystarczy opanować reguły i do zabawy. Reszta jest niemal automatyczna. Geometria daje złudzenie rozumienia, daje obrazki, pobudza wyobraźnię. Ale może też dać złe intuicje gdy na płaszczyźnie przedstawiamy obiekty na niej z natury nie mieszkające. Najlepiej oczywiście gdy się zna i jedno i drugie – diabła algebry i anioła geometrii!
Przedstawię więc mechanizm spinu od wewnątrz – trybiki wewnątrz spinu. Traktujcie to jednak jedynie jako schemat ideowy, nie jako obraz rzeczywistości. Obraz rzeczywistości jest inny – zresztą dotąd nie znany, są na ten temat jedynie teorie i spekulacje. O tych teoriach i spekulacjach wykraczających poza panujący paradygmat będzie dopiero na końcu cyklu. Zanim zacznie się spekulować i wykraczać poza paradygmat dobrze jest najpierw ten aktualny paradygmat poznać – nieprawdaż? Zatem moje przedstawienie będzie konwencjonalne, nigdzie nic nie dodam do mechaniki kwantowej spinu, po prostu trochę inaczej przedstawię, tak by było przy tym trochę zabawy.
W poprzedniej notce o spinie rozróżniłem „stan” spinu od „wektora stanu”. Stan, to to czym potrafimy manipulować w doświadczeniu. Dla spinu ½ jest to po prostu kierunek spinu. Wektor stanu zawiera także dodatkową informację, informację o „wewnętrznej fazie”, która jest dla nas niewidzialna. By przedstawić stan wystarczy podać dwie współrzędne – szerokość i długość geograficzną na sferze. By określić wektor stanu – dwie współrzędne nie wystarczą, potrzebna jest także trzecia. Tylko do czego ją odnieść? Można się tu posłużyć obrazkiem i intuicją geometryczną.
Przypuśćmy, że w naszym laboratorium wybraliśmy układ współrzędnych, powiedzmy zorientowany według stojącego w nim globusa. Każdy kierunek w przestrzeni ma więc szerokość i długość geograficzną – patrz notka „Spin”.
Spin (np. elektronu) ma swoją własną przestrzeń wewnętrzną, jakimiś zębatkami zazębioną z przestrzenią laboratorium. Zajmę się teraz tą wewnętrzną przestrzenią spinu oraz pokażę formalny mechanizm zębatek zazębiających tą przestrzeń wewnętrzną spinu z „naszą” przestrzenią.
W wewnętrznej przestrzeni spinu też wprowadzimy osie współrzędnych – choćby po to, by móc w niej robić grafikę. Będzie to przestrzeń trójwymiarowa, jak ta nasza. Oś północ-południe zazębia się w prosty sposób z osią laboratorium – możemy myśleć, że są do siebie równoległe. W tej przestrzeni wewnętrznej mieszka spinor – tak się zwykle nazywa wektor stanu dla spinu. Jak możemy sobie wyobrazić spinor? Taka wyobraźnia może się przydać. W zewnętrznym polu magnetycznym spin podlega precesji. Chcielibyśmy zobaczyć jak ta precesja wygląda z laboratorium, kiedy patrzymy na stan i jak wygląda „od środka”, t.j. Co się dzieje z wektorem stanu, ze spinorem. Nawet na pół tylko prawdziwy model zjawiska może nasunąć dobre skojarzenia wiodące ku nowymi ciekawym doświadczeniom, nieprawdaż?
Zatem spinor. Przedstawimy go nie jako punkt na sferze, ale jak parę punktów na sferze – jeden niebieski, jeden czerwony. Obydwa leżą na tym samym równoleżniku sfery w wewnętrznej przestrzeni spinu. Jakoś tak:
Narysowałem też oś z – Północ-Południe. Za promień wewnętrznej sfery weźmiemy jednak nie 1 a ½. Patrząc z góry wygląda to jakoś tak:
Narysowałem tu też osie X,Y wewnętrznej przestrzeni. To nie są te same osie co osie przestrzeni zewnętrznej. Z zewnętrzną przestrzenią zazębia się tylko kąt względny pomiędzy punktem czerwonym a niebieskim, nie zaś ich orientacja X-Y w przestrzeni wewnętrznej – ta jest właśnie nieobserwowalna „fazą”. Innymi słowy wektor stanu jak na obrazku poniżej:
widziany jest jako ten sam stan, tzn. jako ten sam kierunek spinu w laboratorium. Obrót w płaszczyźnie X,Y w przestrzeni wewnętrznej, pod warunkiem, że obracane sa oba punkty na raz, jest nieobserwowalny.
A jak ten mechanizm wewnętrzny jest tłumaczony na szerokość i długość geograficzną kierunku spinu? Bardzo prosto:
Wspólna szerokość geograficzna obu punktów to szerokość geograficzna kierunku spinu w naszej przestrzeni. Zaś różnica długości geograficznej punktów, mierzona od czerwonego do czarnego, to długość geograficzna kierunku spinu w laboratorium.
W następnej notce dodamy do tej prostej idei trochę sinusów i cosinusów tak, by móc nasze obrazki odnieść do podręcznikowych formuł.
